Статистический вывод и A/B-тесты

Любой вывод из данных верен ровно настолько, насколько выборка похожа на ту совокупность, о которой вы собираетесь говорить.

Суть

Генеральная совокупность — это множество всех объектов, о которых вы хотите высказаться: все пользователи сервиса, все заказы за квартал, все поисковые сессии, которые случатся в будущем. Выборка — то подмножество, которое реально попало в вашу таблицу. Статистический вывод — это процедура переноса утверждения с выборки на совокупность, и весь дальнейший аппарат обслуживает один вопрос: насколько такой перенос допустим.

У совокупности есть параметры — истинная доля конверсии из поиска в заказ, истинный средний чек. Их обозначают греческими буквами: π для доли, μ для среднего, σ для стандартного отклонения. Мы их не знаем и не узнаем никогда. По выборке мы считаем оценки — p для доли, x̄ для среднего, s для отклонения. Оценка отличается от параметра по двум причинам, и различать их принципиально важно.

Случайный шум возникает потому, что в выборку попали одни объекты, а не другие. Он неустраним, но управляем: его величина падает пропорционально 1/√n, и весь аппарат доверительных интервалов и p-value описывает именно его. Систематическое смещение возникает потому, что механизм попадания в выборку связан с изучаемой величиной. Оно не падает с ростом n. Миллион наблюдений, отобранных смещённо, даёт узкий доверительный интервал вокруг неверного числа — и это опаснее, чем маленькая честная выборка, потому что выглядит убедительнее.

Что делает выборку репрезентативной

Формально репрезентативность обеспечивается вероятностным отбором: у каждого объекта совокупности есть известная ненулевая вероятность попасть в выборку. Отбор с равными вероятностями даёт всем одинаковые шансы. Стратифицированный отбор делит совокупность на слои (города, тарифы, давность регистрации) и берёт случайную выборку внутри каждого слоя — это снижает шум, если метрика сильно различается между слоями. Кластерный отбор берёт целые группы (например, все заказы одного склада) и, наоборот, шум увеличивает, потому что наблюдения внутри кластера похожи друг на друга.

Выборки, которые аналитик получает по умолчанию, вероятностными не являются. «Первые 10 000 строк» упорядочены по времени и потому смещены в сторону старых клиентов. «Данные за понедельник» смещены по дню недели. «Те, кто ответил на опрос» смещены по вовлечённости. Ни один из этих способов не даёт права писать в отчёте «в среднем по базе».

Три механизма смещения отбора

Первый — ошибка охвата: рамка отбора не совпадает с совокупностью. Вы хотите говорить обо всех посетителях сервиса, а в таблицу сессий с идентификатором пользователя попадают только авторизованные. Неавторизованный посетитель физически не может попасть в такую выборку, и если он ведёт себя иначе, оценка сдвинута.

Второй — самоотбор: объект сам решает, попадать ли в данные. Это опросы, отзывы, добровольные формы обратной связи. В отзывы попадают преимущественно те, у кого опыт был очень хорошим или очень плохим; средний спокойный клиент молчит.

Третий — отбор по выживанию: в данных остаются те, кто дожил до момента измерения. Если вы считаете среднее время жизни клиента только по тем, кто ушёл, вы систематически недооцениваете его, потому что самые лояльные ещё не ушли и в расчёт не попали. Родственная проблема — отсев внутри эксперимента: если в одной группе пользователи чаще бросают сценарий на середине, то сравнение по дошедшим до конца сравнивает уже разные совокупности.

Как это проверяется на практике

Смещение нельзя измерить изнутри выборки — по самим данным они выглядят нормально. Проверка всегда опирается на внешнее знание. Сравните распределение известных характеристик выборки и совокупности: доли по городам, по тарифам, по давности регистрации. Если в базе 40 % клиентов из регионов, а в выборке 12 %, смещение налицо. Посчитайте долю дошедших до измерения: низкая доля отклика сама по себе не доказывает смещения, но резко повышает его вероятность. Опишите в отчёте рамку отбора одной строкой: кто мог попасть в данные и кто не мог. Эта строка ловит больше ошибок, чем любые вычисления.

Стандартная ошибка переводит размер выборки в точность оценки, а доверительный интервал показывает эту точность в тех же единицах, что и сама метрика.

Суть

Представьте, что вы могли бы повторить сбор данных много раз: каждый раз новая случайная выборка того же размера, каждый раз чуть другая оценка. Множество этих гипотетических оценок образует распределение — выборочное распределение статистики. Его центр совпадает с истинным значением (если отбор не смещён), а разброс и есть стандартная ошибка, SE. Это стандартное отклонение не отдельных наблюдений, а самой оценки.

Различие между σ и SE — источник половины путаницы в отчётах. σ описывает, насколько разные заказы не похожи друг на друга: чек одного 400 рублей, другого 12 000. SE описывает, насколько неточно вы знаете среднее по всем заказам. Первое почти не зависит от того, сколько данных вы собрали; второе падает с ростом n.

Вторая формула — частный случай первой. Для доли каждое наблюдение равно 0 или 1, и дисперсия такой величины равна p × (1 − p). Отсюда следует неявное на первый взгляд свойство: точность оценки доли зависит от самой доли. При p = 0,5 множитель p × (1 − p) максимален и равен 0,25; при p = 0,04 он равен 0,0384, то есть в шесть с лишним раз меньше. Редкие события измеряются точнее в абсолютных пунктах, но хуже в относительных.

Откуда берётся деление на корень из n

Дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий. Сумма n наблюдений имеет дисперсию n × σ². Среднее — это сумма, делённая на n, а при делении величины на константу дисперсия делится на квадрат константы: n × σ² / n² = σ² / n. Извлекаем корень и получаем σ / √n. Отсюда практическое следствие: чтобы удвоить точность, выборку надо увеличить вчетверо. Рост базы с 1 000 до 4 000 сокращает ошибку вдвое, с 4 000 до 16 000 — ещё вдвое.

Ключевое условие здесь — независимость наблюдений. Если один клиент сделал 40 заказов, эти 40 строк не дают 40 единиц информации, и формула занижает SE. Тогда единицей анализа берут клиента, а не заказ.

Как строится доверительный интервал

Центральная предельная теорема утверждает, что при достаточно большом n выборочное распределение среднего близко к нормальному независимо от того, как распределены сами наблюдения. У нормального распределения примерно 95 % массы лежит в пределах 1,96 стандартных отклонений от центра. Отсюда стандартная конструкция:

Читается интервал так: если повторять всю процедуру много раз, около 95 % построенных интервалов накроют истинное значение. Утверждение относится к процедуре, а не к конкретному интервалу: у уже посчитанного интервала истинное значение либо внутри, либо нет. Для 90 % берут множитель 1,645, для 99 % — 2,576. Более высокая уверенность оплачивается шириной.

Нормальное приближение для долей работает, когда в обеих категориях достаточно наблюдений — практическое правило требует не менее 10 успехов и 10 неуспехов. При 3 конверсиях из 500 приближение ломается, границы могут выйти за пределы отрезка от 0 до 1, и нужен точный метод или бутстрап.

Проверка гипотезы — это правило принятия решения при неполной информации, и у него есть два вида ошибок, цену которых вы назначаете сами до начала теста.

Суть

Формальная процедура начинается с двух взаимоисключающих утверждений. Нулевая гипотеза H₀ говорит, что эффекта нет: конверсии из поиска в заказ у старого и нового ранжирования равны, средние чеки у двух вариантов карточки товара совпадают. Альтернативная гипотеза H₁ говорит, что эффект есть. Асимметрия здесь намеренная: мы предполагаем отсутствие эффекта и требуем от данных достаточных оснований отказаться от этого предположения. Так устроено потому, что «эффекта нет» — это одно конкретное значение, для которого можно посчитать распределение статистики, а «эффект есть» — бесконечное множество значений.

Логика близка к презумпции невиновности. Мы не доказываем, что H₀ верна; мы либо находим достаточно улик против неё, либо признаём улики недостаточными. Второе не равно оправданию по существу.

Две ошибки и их цена

Решение принимается в мире, где истина нам неизвестна, поэтому возможны две разные ошибки.

Ошибка I рода — увидеть эффект, которого нет, и раскатить бесполезное изменение. Её вероятность мы задаём напрямую уровнем значимости α, чаще всего 0,05. Это означает: если эффекта нет, в 5 % повторов теста мы всё равно объявим победу.

Ошибка II рода — не увидеть реальный эффект и отказаться от работающего изменения. Её вероятность β не задаётся напрямую; она следует из размера выборки, величины эффекта и разброса данных. Дополнение к ней и есть мощность.

Стандартный ориентир — мощность 0,8: тест обнаружит заявленный эффект в 80 % случаев, когда эффект действительно такого размера. Оставшиеся 20 % — доля пропусков, с которой вы согласились заранее.

От чего зависит мощность

Мощность растёт при увеличении размера выборки, при увеличении истинного эффекта, при уменьшении разброса данных и при повышении α. Первые три рычага честные, четвёртый — обмен одной ошибки на другую: подняв α до 0,10, вы удвоите долю ложных срабатываний.

Отсюда важное следствие: минимальный обнаружимый эффект однозначно связан с размером групп. Для доли при α = 0,05 и мощности 0,8 работает приближение

Здесь n — размер одной группы. При базовой конверсии 4 % и группах по 40 000 сессий: 16 × 0,04 × 0,96 = 0,6144; делим на 40 000 — получаем 0,000015360; корень равен 0,00392. То есть тест способен уверенно поймать сдвиг в 0,39 процентного пункта — это 0,39 / 4 ≈ 9,8 % относительного прироста. Изменение ранжирования, дающее прирост на 3 %, такой тест не различит, и отрицательный результат будет говорить о нехватке данных, а не об отсутствии эффекта.

Односторонние и двусторонние гипотезы

Двусторонняя альтернатива утверждает «значения различаются», односторонняя — «вариант B лучше». Односторонний тест при том же α мощнее, но полностью слеп к ухудшению: если новое ранжирование снизит конверсию, тест этого не покажет. Для продуктовых экспериментов, где ухудшение — реальный и значимый исход, по умолчанию берут двусторонний вариант. Выбор делается до просмотра данных; переключение на односторонний после того, как стало видно направление эффекта, — это скрытое удвоение α.

p-value — самая цитируемая и самая неверно трактуемая величина в аналитике, поэтому её определение стоит выучить дословно.

Суть

Определение звучит так: p-value — это вероятность получить наблюдаемое различие или ещё более сильное, при условии что нулевая гипотеза верна. Каждое слово здесь несёт нагрузку. «При условии что H₀ верна» — расчёт ведётся в воображаемом мире без эффекта. «Или ещё более сильное» — учитывается не только само значение, но и весь хвост распределения за ним.

Механика расчёта одинакова для всех критериев. Сначала считается статистика — стандартизованное расстояние между наблюдаемым и ожидаемым при H₀, измеренное в стандартных ошибках. Затем берётся известное распределение этой статистики при H₀ (нормальное, t, хи-квадрат) и вычисляется площадь хвоста за наблюдённым значением. Для двусторонней гипотезы берутся оба хвоста.

Маленькое p означает, что данные плохо согласуются с миром без эффекта. Это довод против H₀ — и ровно столько, ничего больше. Порог 0,05 не имеет математического обоснования; это соглашение, унаследованное из практики начала XX века. Разница между p = 0,049 и p = 0,051 не соответствует никакому содержательному различию.

Три неверные трактовки

Первая: «p = 0,03 означает, что вероятность ошибки 3 %» или «вероятность того, что H₀ верна, — 3 %». Здесь переставлены местами условие и событие. Считается P(данные | H₀), а трактуется как P(H₀ | данные). Это разные величины, как «вероятность промокнуть, если идёт дождь» и «вероятность того, что идёт дождь, если вы промокли». Вторая зависит ещё и от того, насколько дождь вообще вероятен в этих краях, — то есть от априорной доли реально работающих гипотез. Иллюстрация: пусть из 1 000 проверяемых идей действительно работают 100. При мощности 0,8 мы поймаем 80 из них. Из 900 пустых идей при α = 0,05 значимыми окажутся 45. Значимых результатов будет 125, из них ложных 45 — это 36 %, а вовсе не 5 %. Чем больше слабых гипотез вы перебираете, тем выше доля мусора среди «побед».

Вторая: «p > 0,05 означает, что эффекта нет». Большое p говорит только о том, что данные совместимы с H₀ — но они совместимы и с множеством ненулевых значений эффекта. При маленькой выборке p будет большим почти всегда, включая случаи с крупным реальным эффектом. Отсутствие доказательства не есть доказательство отсутствия. Чтобы утверждать эквивалентность, нужен либо узкий доверительный интервал вокруг нуля, либо специальная процедура проверки эквивалентности, где нулевой гипотезой служит наличие различия.

Третья: «p = 0,001 означает более сильный эффект, чем p = 0,04» и «результат воспроизведётся с вероятностью 99,9 %». p зависит от двух вещей сразу — от величины эффекта и от размера выборки. На выборке в миллион пользователей прирост конверсии на 0,01 процентного пункта даст крошечное p и нулевую практическую ценность. p не является ни мерой размера эффекта, ни мерой его важности, ни вероятностью повторения результата: при мощности 0,8 повтор эксперимента даст значимость лишь примерно в 80 % случаев, каким бы малым ни было исходное p. Величину эффекта показывает доверительный интервал для разности, и именно его нужно приводить в отчёте.

Как читать p-value правильно

Рабочая формулировка выглядит так: «наблюдаемое различие в 0,28 процентного пункта или большее возникло бы примерно в 5 % случаев, если бы варианты ранжирования на самом деле не различались». Дальше решение принимается с учётом цены ошибок, стоимости внедрения и доверительного интервала. p — вход в рассуждение, а не его вывод. Приводить его без размера эффекта, интервала и размера выборки не имеет смысла.

Критерий выбирается не по привычке, а по типу метрики, числу сравниваемых групп и форме распределения данных.

Суть

Все перечисленные критерии устроены одинаково: они сводят наблюдаемое различие к статистике, распределение которой при H₀ известно, и по ней считают p-value. Различаются они тем, что считают различием и какие предположения делают о данных. Первый вопрос при выборе — какова метрика.

t-тест и тест пропорций

t-тест сравнивает средние двух групп. Его статистика — это разность средних, делённая на стандартную ошибку разности:

Знаменатель складывает дисперсии, потому что группы независимы и дисперсия разности равна сумме дисперсий. Версия Уэлча, которая не требует равенства дисперсий в группах, — разумный вариант по умолчанию: она почти не теряет мощности, когда дисперсии равны, и защищает, когда они различаются. Требование нормальности относится не к самим наблюдениям, а к выборочному распределению среднего, поэтому при n порядка нескольких сотен t-тест работает и на ненормальных данных. Ломается он не от асимметрии, а от тяжёлых хвостов и выбросов: один заказ на 300 000 рублей заметно сдвигает средний чек и раздувает s.

z-тест пропорций — тот же расчёт для долей, где дисперсия определяется самой долей. При проверке H₀ доли объединяют, потому что при нулевой гипотезе истинная доля в обеих группах одна:

Для доверительного интервала разности, наоборот, доли не объединяют и берут √(p₁(1−p₁)/n₁ + p₂(1−p₂)/n₂). Это не противоречие: в первом случае мы живём в мире H₀, во втором — оцениваем реальную разность.

Хи-квадрат

Критерий хи-квадрат работает с таблицей частот и отвечает на вопрос, отличается ли наблюдаемое распределение от ожидаемого при независимости строк и столбцов. Ожидаемая частота в клетке равна произведению итогов строки и столбца, делённому на общий итог. Статистика суммирует относительные квадраты отклонений:

Деление на ожидаемое приводит клетки к общему масштабу: отклонение в 15 при ожидании 150 и при ожидании 3 000 — величины разной значимости. Число степеней свободы для таблицы равно (строки − 1) × (столбцы − 1). Критерий не показывает, какая именно группа выделяется, и не даёт направления эффекта — после значимого результата нужны попарные сравнения с поправкой на множественность. Ограничение: ожидаемая частота в каждой клетке должна быть не меньше 5, иначе приближение неточно.

Манна—Уитни и границы применимости

Критерий Манна—Уитни заменяет значения их рангами и проверяет, склонны ли значения одной группы быть выше значений другой. Выбросы теряют влияние: заказ на 300 000 рублей получает лишь самый большой ранг. Это делает критерий устойчивым на скошенных распределениях вроде чеков или числа просмотренных карточек за сессию. Плата за устойчивость — смена вопроса: он не сравнивает средние и не даёт интервала для разности средних, а бизнесу обычно нужна именно разность в рублях. Практичная схема: Манна—Уитни как проверка устойчивости вывода, бутстрап — как способ получить интервал для той метрики, которая нужна.

Отдельно стоит проверить структуру данных. Если у одного клиента несколько заказов, наблюдения зависимы, и любой из критериев занизит p-value. Если сравниваются одни и те же объекты до и после, нужен парный вариант критерия.

Расчёт размера выборки до запуска превращает эксперимент из лотереи в инструмент: он заранее говорит, какой эффект вы сможете увидеть и сколько это займёт времени.

Суть

Четыре величины связаны жёстко: размер группы n, минимальный обнаружимый эффект MDE, уровень значимости α и мощность 1 − β. Зафиксировав любые три, вы получаете четвёртую. На практике α и мощность берут стандартными (0,05 и 0,8), а дальше выбирают: либо бизнес называет минимально интересный эффект и вы считаете нужное n, либо трафик ограничен и вы считаете, какой MDE вообще достижим. Второй расчёт делать столь же обязательно: он часто показывает, что эксперимент бессмысленно запускать.

Здесь d — абсолютный размер эффекта, который вы хотите поймать, а множитель 2 отражает, что дисперсия входит в разность из обеих групп. Для α = 0,05 и мощности 0,8 подставляются z = 1,96 и z = 0,84: (1,96 + 0,84)² = 2,8² = 7,84, и 2 × 7,84 = 15,68. Это число округляют до 16, откуда получается рабочее правило.

Обе формулы дают размер одной группы; общий трафик вдвое больше.

Что означает квадрат в знаменателе

Эффект входит в квадрате, и это главный практический факт всей темы. Желание ловить вдвое меньший эффект увеличивает выборку вчетверо, втрое меньший — в девять раз. Именно поэтому попытки поймать «прирост в один процент относительно» почти всегда упираются в объёмы, которых у компании нет. Расчёт стоит делать до обсуждения дизайна, а не после.

Второй важный момент — различие абсолютного и относительного эффекта. Бизнес говорит «прирост на 20 %», имея в виду относительную величину. В формулу подставляется абсолютная: при базовой конверсии 4 % прирост на 20 % означает d = 0,04 × 0,20 = 0,008. Ошибка на этом шаге меняет ответ в разы.

Как считать на практике

Порядок действий устойчив. Первое: возьмите базовое значение метрики по историческим данным за период, сопоставимый с будущим тестом. Второе: получите от заказчика минимально интересный эффект — не тот, который вы надеетесь увидеть, а тот, ниже которого внедрение не окупается. Третье: переведите его в абсолютную величину. Четвёртое: подставьте в формулу и получите n на группу. Пятое: разделите удвоенное n на суточный трафик и получите длительность. Шестое: округлите длительность вверх до целого числа недель, чтобы захватить полный недельный цикл — поведение в выходные и будни различается, и обрыв теста в середине недели вносит систематический сдвиг.

Для числовой метрики вместо p × (1 − p) подставляется σ², которую берут из исторических данных. При среднем чеке со стандартным отклонением 1 800 рублей и желании ловить сдвиг в 30 рублей: n = 16 × 3 240 000 / 900 = 57 600 заказов на группу. Для сдвига в 15 рублей: 16 × 3 240 000 / 225 = 230 400. Разница в четыре раза при вдвое меньшем эффекте — та же квадратичная зависимость.

Что делать, когда данных не хватает

Если требуемое n недостижимо, есть несколько честных ходов. Увеличить долю трафика в тесте. Взять более чувствительную метрику: клик по кнопке случается чаще, чем оплата, и требует меньшей выборки, но измеряет не то же самое. Снизить дисперсию: стратификация, учёт предэкспериментального поведения клиента, усечение выбросов по заранее объявленному порогу. Согласовать более крупный MDE и явно записать, что мелкие эффекты тест не различает. Нечестный ход один и распространён — запустить как есть и надеяться; он даёт незначимый результат, который затем трактуют как «изменение не работает».

Уровень значимости 0,05 защищает от ложной находки при одной проверке, но каждая дополнительная проверка — по срезу, по метрике или по времени — расходует эту защиту.

Суть

Ошибка I рода случается в 5 % случаев на каждую проверку. Если проверок несколько и они независимы, вероятность хотя бы одного ложного срабатывания растёт по формуле дополнения:

Подставим α = 0,05. При m = 3 получаем 1 − 0,95³ = 1 − 0,857 = 0,143. При m = 5 — 1 − 0,774 = 0,226. При m = 10 — 1 − 0,599 = 0,401. При m = 20 — 0,642. То есть аналитик, разрезавший результат теста на двадцать срезов, найдёт «значимый» эффект хотя бы в одном из них почти в двух случаях из трёх, даже если никакого эффекта нет вовсе.

Проблема не в том, что срезы смотреть нельзя. Проблема в том, что порог 0,05, применённый к каждому срезу отдельно, перестаёт означать то, что он означал.

Подглядывание как частный случай

Проверка результата каждый день с решением «остановить тест, как только p опустится ниже 0,05» — это тоже множественные сравнения, только по времени. Отличие в том, что последовательные проверки сильно коррелированы: данные вчерашнего дня входят и в сегодняшнюю оценку, — поэтому формула независимых испытаний завышает риск. Но и реальные цифры велики: при двух промежуточных проверках фактическая доля ложных срабатываний около 8 %, при пяти — около 14 %, при десяти — около 19 %. Если смотреть на график непрерывно и останавливаться на первом пересечении порога, вероятность в пределе стремится к единице: траектория p-value при отсутствии эффекта случайно блуждает и рано или поздно зайдёт под 0,05.

Усугубляет ситуацию правило остановки, привязанное к желаемому исходу: тест продолжают, пока результат «не тот», и останавливают, как только он «тот». Это отбор благоприятного момента, и он смещает оценку эффекта вверх даже там, где эффект реален: остановка происходит на случайном пике.

Что с этим делать

Первый и главный приём — заранее зафиксировать план: одна основная метрика, один срез, одна дата подведения итогов, посчитанная из размера выборки. Всё остальное объявляется разведочным и в решениях не участвует.

Когда сравнений действительно несколько, применяют поправки. Поправка Бонферрони делит порог на число сравнений: при пяти сравнениях значимым считается p ниже 0,05 / 5 = 0,01, при десяти — ниже 0,005. Она надёжна и не требует допущений, но консервативна: при большом m мощность падает почти до нуля.

Процедура Бенджамини—Хохберга контролирует не вероятность хотя бы одной ошибки, а ожидаемую долю ложных среди объявленных находок. p-value сортируются по возрастанию, и i-е сравнивается с порогом i / m × q, где q — допустимая доля ложных открытий. Значимыми объявляются все сравнения до самого большого номера, для которого условие выполнилось. Такой подход уместен в разведочном анализе, где важнее не пропустить кандидатов, чем гарантировать чистоту каждого.

Для промежуточных проверок существуют групповые последовательные схемы: пороги на ранних проверках делают заметно строже, на финальной — почти обычными, так что суммарный α остаётся 0,05. Это законный способ подглядывать, но он требует объявить число и моменты проверок заранее.

Бутстрап даёт доверительный интервал для любой метрики, включая те, для которых формулы стандартной ошибки не существует.

Суть

Классические формулы выведены для конкретных статистик при конкретных предположениях: среднее при большой выборке, доля при достаточном числе успехов. Для медианы, 90-го процентиля, отношения двух сумм или доли заказов, уложившихся в норматив, аналитической формулы либо нет, либо она требует условий, которых данные не выполняют. Бутстрап заменяет вывод формулы вычислением.

Идея опирается на подстановку. Мы хотели бы знать, как оценка колеблется при повторном извлечении выборок из генеральной совокупности. Совокупность нам недоступна, но выборка — её лучшая доступная копия. Значит, будем извлекать новые выборки из самой выборки: с возвращением, того же размера n. Каждая такая псевдовыборка содержит часть исходных наблюдений по нескольку раз, часть не содержит вовсе — именно это воспроизводит случайность отбора.

Алгоритм

Процедура состоит из четырёх шагов. Первый: из выборки размера n случайно с возвращением набирается псевдовыборка того же размера n. Возвращение принципиально — без него получится перестановка исходных данных и метрика не изменится. Второй: на псевдовыборке считается интересующая метрика — медиана, процентиль, доля, отношение. Третий: шаги повторяются много раз; 1 000 повторов достаточно для оценки стандартной ошибки, 10 000 — для устойчивых границ интервала. Четвёртый: полученный набор значений сортируется, и границы 95 % интервала берутся как 2,5-й и 97,5-й процентили — при 10 000 повторов это 250-е и 9 750-е значения по порядку.

Стандартное отклонение набора бутстрап-оценок и есть оценка стандартной ошибки метрики. Для среднего оно совпадёт с σ / √n с точностью до случайности — это удобный способ проверить, что процедура реализована верно.

Как применять к сравнению групп

Для A/B-теста ресемплируют каждую группу независимо, на каждой итерации считают разность метрик и получают распределение разности. Если 95 % интервал этой разности не содержит нуля, различие значимо на уровне 0,05. Такой подход удобнее классического критерия тем, что работает с любой метрикой и сразу выдаёт интервал в бизнес-единицах: не «p = 0,03», а «медианный чек вырос на 120 рублей, интервал от 40 до 205 рублей».

Единица ресемплирования должна совпадать с единицей рандомизации. Если тест рандомизирован по клиентам, а метрика считается по заказам, ресемплировать нужно клиентов целиком со всеми их заказами — это блочный бутстрап. Ресемплирование отдельных заказов разорвёт зависимость внутри клиента и даст слишком узкий интервал.

Где бутстрап ломается

Бутстрап не создаёт информацию, а лишь извлекает её из имеющихся данных, поэтому он наследует все их дефекты. Смещение отбора он не исправляет: интервал будет узким и уверенно окружать неверное число. На очень малых выборках он ненадёжен — в 20 наблюдениях содержится слишком мало информации о хвостах распределения. Для экстремальных статистик вроде максимума метод не работает в принципе: максимум псевдовыборки никогда не превысит максимум исходной, и распределение получается искажённым. При сильной зависимости наблюдений нужен блочный вариант. Наконец, у процентильного интервала есть смещение при асимметричных распределениях; для аккуратной работы применяют скорректированные версии, но для типичных продуктовых задач процентильного интервала обычно достаточно.